如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中 上一点，延长DA至点E，使CE=CD．（1）求证：AE=BD； （2）若AC⊥BC，求证：AD+BD=  CD．
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 如图，已知BC是⊙O的直径，AH⊥BC，垂足为D，点A为 的中点，BF交AD于点E，且BE•EF=32，AD=6．（1）求证：AE=BE； （2）求DE的长； （3）求BD的长． |
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已知⊙O的内接四边形ABCD中，AD∥BC．试判断四边形ABCD的形状，并加以证明． |
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已知：如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，经过点A的直线与两圆分别交于点C，点D，经过点B的直线与两圆分别交于点E，点F．若CD∥EF，求证： （1）四边形EFDC是平行四边形； （2）  ．
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如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交 于D．（1）请写出四个不同类型的正确结论； （2）连接CD，设∠CDB=α，∠ABC=β，试找出α与β之间的一种关系式，并予以证明． 
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如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点． ①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF． 以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即： ①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①． （1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）； （2）请证明你认为正确的命题． 
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在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况（圆心在圆周角的一边上）如图1所示： ∵∠AOC是△ABO的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO 又∵OA=OB ∴∠OAB=∠OBA ∴∠AOC=2∠ABO 即∠ABC=  ∠AOC如果∠ABC的两边都不经过圆心，如图2、3，那么结论会怎样？请你说明理由．  |
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已知：如图，点O2是⊙O1上一点，⊙O2与⊙O1相交于A、D两点，BC⊥AD，垂足为D，分别交⊙O1、⊙O2于B、C两点，延长DO2交⊙O2于E，交BA延长线于F，BO2交AD于G，连接AD． （1）求证：∠BGD=∠C； （2）若∠DO2C=45°，求证：AD=AF； （3）若BF=6CD，且线段BD、BF的长是关于x的方程x2-（4m+2）x+4m2+8=0的两个实数根，求BD、BF的长． 
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如图，⊙O的弦AB=10，P是弦AB所对优弧上的一个动点，tan∠APB=2， （1）若△APB为直角三角形，求PB的长； （2）若△APB为等腰三角形，求△APB的面积． 
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已知：如图1，在⊙O中，弦AB=2，CD=1，AD⊥BD．直线AD，BC相交于点E． （1）求∠E的度数； （2）如果点C，D在⊙O上运动，且保持弦CD的长度不变，那么，直线AD，BC相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）． ①如图2，弦AB与弦CD交于点F； ②如图3，弦AB与弦CD不相交； ③如图4，点B与点C重合．  |
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