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题型:解答题
难度:中等
已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,manfen5.com 满分网.从{an}中抽出部分项manfen5.com 满分网,(k1<k2<…<kn<…)组成的数列manfen5.com 满分网是等比数列,设该等比数列的公比为q,其中manfen5.com 满分网
(1)求a2的值;
(2)当q取最小时,求{kn}的通项公式;
(3)求k1+k2+…+kn的值.
题型:解答题
难度:困难
已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an+1,an+2…的最小值记为Bn,dn=An-Bn
(Ⅰ)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3…,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*,an+4=an),写出d1,d2,d3,d4的值;
(Ⅱ)设d是非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列;
(Ⅲ)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,…),则{an}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.
题型:解答题
难度:困难
设{an}是首项为a,公差为d的等差数列(d≠0),Sn是其前n项和.记manfen5.com 满分网,n∈N*,其中c为实数.
(1)若c=0,且b1,b2,b4成等比数列,证明:manfen5.com 满分网(k,n∈N*);
(2)若{bn}是等差数列,证明:c=0.
题型:解答题
难度:困难
设a>0,b>0,已知函数f(x)=manfen5.com 满分网
(Ⅰ)当a≠b时,讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)当x>0时,称f(x)为a、b关于x的加权平均数.
(i)判断f(1),f(manfen5.com 满分网),f(manfen5.com 满分网)是否成等比数列,并证明f(manfen5.com 满分网)≤f(manfen5.com 满分网);
(ii)a、b的几何平均数记为G.称manfen5.com 满分网为a、b的调和平均数,记为H.若H≤f(x)≤G,求x的取值范围.
题型:解答题
难度:中等
设数列{an}满足a1=2,a2+a4=8,且对任意n∈N*,函数 f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cosx-an+2sinx满足f′(manfen5.com 满分网)=0
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若bn=2(an+manfen5.com 满分网)求数列{bn}的前n项和Sn
题型:解答题
难度:困难
设{an}是公比为q的等比数列.
(Ⅰ)试推导{an}的前n项和公式;
(Ⅱ) 设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.
题型:解答题
难度:中等
设Sn表示数列{an}的前n项和.
(Ⅰ) 若{an}为等差数列,推导Sn的计算公式;
(Ⅱ) 若a1=1,q≠0,且对所有正整数n,有Sn=manfen5.com 满分网.判断{an}是否为等比数列,并证明你的结论.
题型:解答题
难度:中等
已知数列{an}中,manfen5.com 满分网(p,q为常数)
(1)若p=q=1,求数列{an}的前n项和Sn
(2)若p=1,问常数q如何取值时,使数列{an}为等比数列?
题型:解答题
难度:困难
已知a>0,b<0,且a+b≠0,令a1=a,b1=b,且对任意的正整数k,当ak+bk≥0时,manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网;当ak+bk<0时,manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网
(1)求数列{an+bn}的通项公式;
(2)若对任意的正整数n,an+bn<0恒成立,问是否存在a,b使得{bn}为等比数列?若存在,求出a,b满足的条件;若不存在,说明理由;
(3)若对任意的正整数n,an+bn<0,且manfen5.com 满分网,求数列{bn}的通项公式.
题型:解答题
难度:困难
设数列{an}的前n项和为Sn,且manfen5.com 满分网
(1)证明数列{an+3}为等比数列     
(2)求{Sn}的前n项和Tn
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