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题型:解答题
难度:中等
【再读教材】
宽与长的比是manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形.
下面,我们用宽为4cm的矩形纸片折叠一个黄金矩形.manfen5.com 满分网
第一步,在矩形纸片的一端,利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.
第二步,如图②,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.
第三步,折出内侧矩形的对角线AB,并把它折到图③中所示的AD处.
第四步,展平纸片,按照所得的D点折出DE,如图④…
【问题解决】
(1)图③中AB=______
题型:解答题
难度:困难
如图1,将等腰直角三角形纸片ABC沿底边上的高CD剪开,得到两个全等的三角形△ADC,△BDC,已知AC=4.
(1)求AB的长;
(2)将△ADC绕点D顺时针旋转得到△A′DC′,DC′交BC于点E(如图2).设旋转角为β(0°<β<90°).当△DBE为等腰三角形时,求β的值.
(3)若将△DBC沿BA方向平移得到△D′B′C′(如图3),C′D′与AC交于点F,B′C′与DC交于点H.四边形DD′FH能否为正方形?若能,求平移的距离是多少;若不能,请说明理由.

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题型:解答题
难度:中等
某校九年级(1)班数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:
如图1,在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,小明将一块直角三角板的直角顶点放在斜边BC边的中点O上,从BC边开始绕点A顺时针旋转,其中三角板两条直角边所在的直线分别交AB、AC于点E、F.
(1)小明在旋转中发现:在图1中,线段AE与CF相等.请你证明小明发现的结论;
(2)小明将一块三角板中含45°角的顶点放在点A上,从BC边开始绕点A顺时针旋转一个角α,其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D,直角边所在的直线交直线BC于点E.当0°<α≤45°时,小明在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系:
BD2+CE2=DE2.同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决:
小颖的方法:将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,连接EF(如图2);
小亮的方法:将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG,连接EG(如图3).
请你从中任选一种方法进行证明;
(3)小明继续旋转三角板,在探究中得出:当45°<α<135°且α≠90°时,等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立.现请你继续探究:当135°<α<180°时(如图4),等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.
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题型:解答题
难度:压轴
通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例,请补充完整.
原题:如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,试说明理由.
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(1)思路梳理
∵AB=AD,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合.
∵∠ADC=∠B=90°,
∴∠FDG=180°,点F、D、G共线.
根据______,易证△AFG≌______,得EF=BE+DF.
(2)类比引申
如图2,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°.若∠B、∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系______时,仍有EF=BE+DF.
(3)联想拓展
如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°.猜想BD、DE、EC应满足的等量关系,并写出推理过程.
题型:解答题
难度:简单
已知,△ABC中,AB=AC=2,BC=2manfen5.com 满分网,∠A=90°.取一块含45°角的直角三角尺,将直角顶点放在斜边BC边的中点O处,一条直角边过A点(如图1).三角尺绕O点顺时针方向旋转,使90°角的两边与Rt△ABC的两边AB,AC分别相交于点E,F(如图2).设BE=x,CF=y.
(1)探究:在图2中,线段AE与CF有怎样的大小关系?证明你的结论;
(2)求在上述旋转过程中y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)若将直角三角尺45°角的顶点放在斜边BC边的中点O处,一条直角边过A点(如图3).三角尺绕O点顺时针方向旋转,使45°角的两边与Rt△ABC的两边AB,AC分别相交于点E,F(如图4).在三角尺绕O点旋转的过程中,△OEF是否能成为等腰三角形?若能,直接写出△OEF为等腰三角形时x的值;若不能,请说明理由.
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题型:解答题
难度:简单
如图1,是边长分别为6和4的两个等边三角形纸片ABC和CD1E1叠放在一起.
(1)操作:固定△ABC,将△CD1E1绕点C顺时针旋转得到△CDE,连接AD、BE,如图2.探究:在图2中,线段BE与AD之间有怎样的大小关系?并请说明理由;
(2)操作:固定△ABC,若将△CD1E1绕点C顺时针旋转30°得到△CDE,连接AD、BE,CE的延长线交AB于点F,在线段CF上沿着CF方向平移,(点F与点P重合即停止平移)平移后的△CDE设为△PQR,如图3.
探究:在图3中,除三角形ABC和CDE外,还有哪个三角形是等腰三角形?写出你的结论(不必说明理由);
(3)探究:如图3,在(2)的条件下,设CQ=x,用x代数式表示出GH的长.    
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题型:解答题
难度:中等
已知正方形AOCB和正方形GOHP的一个顶点O重合,边OA在OG上,边OC在OH上,正方形AOCB的边长为2.现将正方形AOCB绕O点顺时针旋转,当A点第一次落在OP直线上时停止旋转,旋转过程中,AB边交OP于点M,BC边交OH于点N.
(1)求边OA在整个旋转过程中所扫过的面积;
(2)旋转过程中,当MN和AC平行时,求正方形AOCB旋转的度数;
(3)设△MBN的周长为k,在旋转正方形OABC的过程中,k值是否有变化?若无变化,请求出k的值;若变化,请说明理由.

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题型:解答题
难度:中等
己知:正方形ABCD.
(1)如图1,点E、点F分别在边AB和AD上,且AE=AF.此时,线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么?请直接写出结论.
(2)如图2,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α,当0°<α<90°时,连接BE、DF,此时(1)中的结论是否成立,如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.
(3)如图3,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α,当α=90°时,连接BE、DF,猜想当AE与AD满足什么数量关系时,直线DF垂直平分BE.请直接写出结论.
(4)如图4,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α,当90°<α<180°时,连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF,如果其对角线DF的长度为manfen5.com 满分网cm,那么四边形BDEF的面积是多少?请直接写出结论.
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题型:解答题
难度:压轴
阅读下面材料:
镜面对称:镜前的物体与其在镜中的像关于镜面对称
①如果有一个用火柴摆出的等式,而你从镜子中看见的是如下式子:
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那么你能立即对这个等式的正确性做出判断吗?______(填“正确”或“不正确”)
②如图(1),镜前有黑、白两球,如果你用白球瞄准黑球在镜中的像,击出的白球就能经镜面反弹击中黑球.
如果你有两面互相垂直的镜子,你想让击出的白球先后经两个镜面反弹,然后仍能击中黑球,那么你应该怎样瞄准?请仿照图(1)画出图(2)中白球的运动的路线图.
③请利用轴对称解决下面问题:
如图(3)在Rt△ABC中,AB=BC=4cm,E是BC的中点,点P是AC上一动点,则△PBE的周长最小值为______
题型:解答题
难度:中等
如图,△ABD和△BDC都是边长为1的等边三角形,它们有公共的底边BD.
(1)以图1中的某个点为旋转中心,旋转△ABD,能使△ABD与△BDC重合,则满足题意的点为______;(写出一个即可)
(2)如图2,将△BDC沿射线BD方向平移到△B1D1C1的位置,则四边形ABC1D1是平行四边形吗,为什么?
(3)在△BDC移动过程中,四边形ABC1D1可能是矩形吗?如果可能,直接写出点B移动的距离;如果不可能,请说明理由.(图3供操作时使用)
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