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当前位置:首页 > 初中数学试题 > 勾股定理的证明
题型:填空题
难度:困难
(1)教材在探索平方差公式时利用了面积法,面积法除了可以帮助我们记忆公式,还可以直观地推导或验证公式,俗称“无字证明”,例如,著名的赵爽弦图(如图①,其中四个直角三角形较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c),大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为manfen5.com 满分网由此推导出重要的勾股定理:如果直角三角形两条直角边长为a,b,斜边长为c,则a2+b2=c2.图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”,请你利用图②推导勾股定理.
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(2)试用勾股定理解决以下问题:
如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4,则斜边上的高为   
(3)试构造一个图形,使它的面积能够解释(a-2b)2=a2-4ab+4b2,画在下面的网格中,并标出字母a、b所表示的线段.
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题型:解答题
难度:困难
2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标图案如图所示.
(1)它可以看作由四个边长分别为a、b、c的直角三角形拼成,请从面积关系出发,写出一个关于a、b、c的等式.(要有过程)
(2)请用四个这样的直角三角形再拼出另一个几何图形,也能验证(1)中所写的等式.(不用写出验证过程)
(3)如果a2+b2=100,a+b=14,求此直角三角形的面积.

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题型:解答题
难度:困难
教材第66页探索平方差公式时设置了如下情境:边长为b的小正方形纸片放置在边长为a的大正方形纸片上(如图①),你能通过计算未盖住部分的面积得到公式(a+b)(a-b)=a2-b2吗?(不必证明)
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(1)如果将小正方形的一边延长(如图②),是否也能推导公式?请完成证明.
(2)面积法除了可以帮助我们记忆公式,还可以直观地推导或验证公式,俗称“无字证明”,例如,著名的赵爽弦图(如图③,其中四个直角三角形较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c),大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为4×manfen5.com 满分网ab+(a-b)2,由此推导出重要的勾股定理:a2+b2=c2.图④为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”,请你完成证明.
(3)试构造一个图形,使它的面积能够解释(a-2b)2=a2-4ab+4b2,画在下面的网格(图⑤)中,并标出字母a、b所表示的线段.
题型:解答题
难度:困难
我们运用图(I)图中大正方形的面积可表示为(a+b)2,也可表示为c2+4×manfen5.com 满分网ab,即(a+b)2=c2+4×manfen5.com 满分网ab由此推导出一个重要的结论a2+b2=c2,这个重要的结论就是著名的“勾股定理”.这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称“无字证明”.
(1)请你用图(Ⅱ)(2002年国际数字家大会会标)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c).
(2)请你用(Ⅲ)提供的图形进行组合,用组合图形的面积表达式验证:(x+y)2=x2+2xy+y2
(3)现有足够多的边长为x的小正方形,边长为y的大正方形以及长为x宽为y的长方形,请你自己设计图形的组合,用其面积表达式验证:(x+y)(x+2y)=x2+3xy+2y2manfen5.com 满分网
题型:解答题
难度:简单
如图(1)中大正方形的面积可表示为(a+b)2,也可表示为manfen5.com 满分网,即manfen5.com 满分网,由此推导出一个重要的结论:a2+b2=c2,这个重要的结论就是著名的“勾股定理”.请你用两种方法求图(2)的大正方形面积,并验证勾股定理(其中四个直角三角形的较小的直角边长都为a,较大的直角边长都为b,斜边长都为c).
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题型:解答题
难度:简单
如图所示,是两个相同的直角三角形拼成的梯形ABCD,直角三角形的三边长分别是a、b、c.
(1)求所拼成的梯形的面积;
(2)换一种思路求梯形的面积,并说明a、b、c存在数量关系:a2+b2=c2

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题型:解答题
难度:压轴
小明在研究直角三角形的边长时,发现了下面的式子:
①当三边长分别为3、4、5时,32+42=52;②当三边长分别为6、8、10时,62+82=102;③当三边长分别为5、12、13时,52+122=132; …
(1)从中小明发现了一个规律:在直角△ABC中,若∠B=90°,则它的三边长满足______
(2)已知长方形ABCD中AB=8,BC=5,E是AB的中点,点F在BC上,△DEF的面积为16,求点D到直线EF的距离.

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题型:解答题
难度:困难
由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边为c的直角三角形可以拼凑成一个新的图形,如图所示:
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(1)请你用两种不同的方法分别计算所得的新图形的面积,然后再比较二者的结果,看看你能发现什么公式?
(2)若上述直角三角形的边a、b的长度分别为a=4,b=3,请你运用“你发现的公式”求出边c的长度.
题型:解答题
难度:中等
如图:用两个边长为a,b,c的直角三角形拼成一个直角梯形,试用不同的方法计算这个图形的面积,你能发现什么结论?

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题型:解答题
难度:困难
将火柴盒ABCD推倒后,如图A所示,AB=CE,BC=EF,∠B=E=90°.
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①连接AC、CF,并擦去AD、DC、GF,则得图B,根据图B说明:AC=CF;
②在①说明过程中,你还能得到哪些些结论,把它写下来,写满3个正确结论得2分,每多写一个正确结论加1分,不必说明理由;
③在图B中,请你连接AF,则四边形ACEF为梯形.设Rt△ABC的三边长如图所示,请你用两种不同的方法将梯形ABEF的面积S,用a、b、c表示出来;
④根据③的结论,你猜想Rt△ABC的三边长a、b、c之间有何数量关系?
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