如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时...

如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面积？

（1）因为所求AB或x在△ABC中，所以可利用三角形三边之间的关系即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行解答．（2）应该分情况讨论，因为不知道在三角形中哪一个是作为斜边存在的．所以有三种情况，即：①若AC为斜边，则1=x2+（3-x）2，即x2-3x+4=0，无解． ②若AB为斜边，则x2=（3-x）2+1，解得，满足1＜x＜2． ③若BC为斜边，则（3-x）2=1+x2，解得，满足1＜x＜2． ∴或．（3）在△ABC中，AB的值固定不变，即可视为底边不变，但是因为三角形形状不固定，高在发生变化，所以造成面积不固定，需分情况进行讨论．具体分①若点D在线段AB上，②若点D在线段MA上两种情况．【解析】（1）∵在△ABC中，AC=1，AB=x，BC=3-x． ∴，解得1＜x＜2；（2）①若AC为斜边，则1=x2+（3-x）2，即x2-3x+4=0，无解， ②若AB为斜边，则x2=（3-x）2+1，解得，满足1＜x＜2， ③若BC为斜边，则（3-x）2=1+x2，解得，满足1＜x＜2， ∴或；（3）在△ABC中，作CD⊥AB于D，设CD=h，△ABC的面积为S，则， ①若点D在线段AB上，则， ∴，即， ∴x2（1-h2）=9x2-24x+16，即x2h2=-8x2+24x-16． ∴S2=x2h2=-2x2+6x-4=-2（x-）2+（≤x＜2），当时（满足≤x＜2）S2取最大值，从而S取最大值； ②若点D在线段MA上，则，同理可，得 S2=x2h2=-2x2+6x-4 =-2（x-）2+（1＜x≤），易知此时，综合①②得，△ABC的最大面积为．

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考点分析：

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如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度��为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；
（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．

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，求矩形ABCD的面积．

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（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．

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（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等