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已知函数(). (1)若为的极值点,求实数的值; (2)若在上是单调增函数,求实...

已知函数).

1)若的极值点,求实数的值;

2)若上是单调增函数,求实数的取值范围;

3)当时,方程有实根,求实数的最大值.

 

(1)0;(2);(3)0. 【解析】 (1)根据建立关于a的方程求出a的值. (2)本小题实质是在区间上恒成立, 进一步转化为在区间上恒成立, 然后再讨论a=0和两种情况研究. (2)时,方程可化为,, 问题转化为在上有解, 利用导数研究g(x)的单调区间极值最值,从而求出值域,问题得解. (1). 因为为的极值点,所以. 即,解得. 又当时,,从而的极值点成立. (2)因为在区间上为增函数, 所以在区间上恒成立. ①当时,在上恒成立,所以上为增函数,故,符合题意. ②当时,由函数的定义域可知,必须有对恒成立,故只能,所以对 上恒成立. 令,其对称轴为, 因为所以,从而上恒成立,只要即可, 因为, 解得.因为,所以. 综上所述,的取值范围为. (3)若时,方程可化为,. 问题转化为在上有解, 即求函数的值域. 因为,令, 则, 所以当时,,从而在上为增函数, 当时,,从而在上为减函数, 因此. 而,故, 因此当时,取得最大值0.  
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