设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，假设（其中为坐标原点） （1）求椭圆的方程； ...

（1）（2）11 【解析】 （1）先求出坐标，再由，联立求解，即可求得，进而求得标准方程； （2）解法不唯一，可采用方法1中的向量法进行转化；也可采用方法2，纯代数运算，分别表示出点，其中的中点坐标为，可得，再表示出的坐标表达式，结合二次函数最值可求解；还可采用分类讨论直线斜率是否存在的方法，求出直线与圆的点坐标，再结合的坐标运算及二次函数性质即可求解； （1）由题设知，，，由，得解得、因此椭圆的方程为； （2）方法1：设圆的圆心为， 那么， 从而求的最大值转化为求的最大值， 因为是椭圆上的任意一点，设，因此，即， 因为，因此， 因为，因此当时，取得最大值12， 因此的最大值为11； 方法2：设点， 因为的中点坐标为，因此 因此， ， ， ， 因为点在圆上，因此，即， 因为点在椭圆上，因此，即， 因此， 因为，因此当时，； 方法3：①假设直线的斜率存在，设的方程为， 由，解得， 因为是椭圆上的任一点，设点， 因此，即， 因此， 因此， 因为，因此当时，取得最大值11； ②假设直线的斜率不存在，则的方程为， 由，解得或， 不妨设，，， 因为是椭圆上的任一点，设点， 因此，即， 因此，， 因此， 因为，因此当时，取得最大值11， 综上可知，的最大值为11