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已知函数,是的导函数. (1)若,求的最值; (2)若,证明:对任意的,存在,使...

已知函数的导函数.

1)若,求的最值;

2)若,证明:对任意的,存在,使得.

 

(1)最小值为,没有最大值;(2)证明见解析 【解析】 (1)求函数的定义域,求,利用的正负,判断的单调性,求出的最值; (2)求出,易知在上单调递增,所以在上单调递增,求出的取值范围,得到,所以在上单调递增,再求出的取值范围.由题意,问题转化为证明的最大值小于等于的最大值成立. (1)函数的定义域为. 当时,,. 所以在上,在上, 所以在上单调递减,在上单调递增. 因为,所以的最小值为,没有最大值. (2)由题意得. 因为在上单调递增,所以, 即. 因为且,所以,所以在上单调递增. 所以,即. 依题意知,只需成立即可. 要证成立,即证成立. 因为,所以,,所以, 从而,原命题得证.
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考点分析:
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椭圆将圆的圆周分为四等份,且椭圆的离心率为.

1)求椭圆的方程;

2)若直线与椭圆交于不同的两点,且的中点为,线段的垂直平分线为,直线轴交于点,求的取值范围.

 

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如图,在四棱锥中,平面,底面是直角梯形,,且.是线段上一点,且.

1)求证:平面平面.

2)若,在线段上是否存在一点,使得到平面的距离为?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.

 

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某校的名高三学生参加了天一大联考,为了分析此次联考数学学科的情况,现随机从中抽取名学生的数学成绩(满分:分),并绘制成如图所示的茎叶图.将成绩低于分的称为不及格,不低于分的称为优秀,其余的称为良好”.根据样本的数字特征估计总体的情况.

1)估算此次联考该校高三学生的数学学科的平均成绩.

2)估算此次联考该校高三学生数学成绩不及格优秀的人数各是多少.

3)在国家扶贫政策的倡导下,该地教育部门提出了教育扶贫活动,要求对此次数学成绩不及格的学生分两期进行学业辅导:一期由优秀学生进行一对一帮扶辅导,二期由老师进行集中辅导.根据实践总结,优秀学生进行一对一辅导的转化率为;老师集中辅导的转化率为,试估算经过两期辅导后,该校高三学生中数学成绩仍然不及格的人数.

注:转化率

 

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已知等差数列的前项和为.

1)求的通项公式;

2)设,数列的前项和为,求的最小值.

 

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往一球型容器注入cm3的水,测得水面圆的直径为cm,水深为cm,若以cm3/s的速度往该容器继续注水,当再次测得水面圆的直径为cm时,则需经过______s.

 

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