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已知函数. (1)若,讨论函数的单调性; (2)设,是否存在实数,对任意,,,有...

已知函数.

1)若,讨论函数的单调性;

2)设,是否存在实数,对任意,有恒成立?若存在,求出的范围;若不存在,请说明理由.

 

(1)见解析(2)存在,. 【解析】 (1)先求导,再讨论的取值范围,求出函数的单调区间即可; (2)先假设存在实数,,所以可设,由此能得到:,根据单调性的定义,令,要使函数在上是增函数,只要函数在上的导数值大于等于即可,继而求出的范围. (1)函数的定义域为, , ①若,则,,且只在时取等号,∴在上单调递增; ②若,则,而,∴,当时,;当及时,,所以在上单调递减,在及上单调递增; ③若,则,同理可得:在上单调递减,在及上单调递增; 综上,当时,在上单调递减,在及上单调递增; 当时,在上单调递增; 当时,在上单调递减,在及上单调递增; (2), 假设存在,对任意,,,有恒成立, 不妨设,要使恒成立,即必有, 令,即, , 要使在上为增函数, 只要在上恒成立,须有,,故存在时,对任意,,,有恒成立.
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