已知直线被圆截得的弦长恰与椭圆的短轴长相等，椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；...

（1）；（2）存在一个定点． 【解析】 试题分析：（1）因为直线截圆的弦长为，所以，又离心率，可求，从而写出标准方程；（2）假设存在，斜率存在时设直线方程，联立直线与椭圆，根据直线与圆锥曲线的位置关系得，，因为以为直径的圆恒过定点，所以，将表示为，，然后代入整理得：恒成立，即不论取何值，，因此系数及常数项恒为，解得，当斜率不存在时，与轴重合，以为直径的圆为也过点． 试题解析：（1）则由题设可求的， 又，则，所以椭圆的方程是． （2）解法一：假设存在点，若直线的斜率存在，设其方程为，将它代入椭圆方程，并整理得． 设点的坐标分别为，则， 因为及， 所以 ． 当且仅当恒成立时，以为直径的圆恒过定点， 所以，解得， 此时以为直径的圆恒过定点． 当直线的斜率不存在，与轴重合，以为直径的圆为也过点． 综上可知，在坐标平面上存在一个定点，满足条件． 解法二：若直线与轴重合，则以为直径的圆为， 若直线垂直于轴，则以为直径的圆为， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 由，解得，由此可知所求点T如果存在，只能是． ．．．．．7分 事实上点就是所求的点，证明如下： 当直线的斜率不存在，即直线与轴重合时，以为直径的圆为，过点；   当直线的斜率存在，设直线方程为， 代入椭圆方程并整理得， 设点的坐标为，则，因为，所以有 ， 所以，即以为直径的圆恒定过点， 综上可知，在坐标平面上存在一个定点满足条件． 考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、圆的几何性质；4、向量的数量积． 【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程和直线与圆锥曲线的位置关系及定点的存在型问题，属于难题．解题时的突破点在于以为直径的圆恒过定点，利用圆的几何性质知，从而只需计算恒成立，进入常规直线与圆锥曲线位置关系的计算即可，同时一定要注意直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误．