在直三棱柱中，，，，是 的中点，是的中点 （1）求证：平面 ； （2）求点到平面...

（1）见解析；（2）；（3）． 【解析】 试题分析：（1）取中点，连结，易得四边形为平行四边形，然后由线面平等的判定定理证明即可；方法一：（2）可证得平面，过作，则即为到平面的距离，在等腰三角形中可求得的长； （3） 在平面上作交于点，于点，则为二面角的平面角，在在等腰三角形中，求，即可求得，从而求得二面角的余弦值．方法二：（2）以为原点，建立直角坐标系，求得平面的法向量，则利用公式求得点到平面的距离即为所求；（3）求出平面与的法向量，利用空间夹角公式即可求得结果． 试题解析：（1）如图所示， 取中点，连结，∴． 又， ∴四边形为平行四边形，∴． 又平面，平面， ∴平面． （2）因三棱柱为直三棱柱，∴， 又，∴平面． 在平面中，过作， 又，故为点到平面的距离． 在等腰三角形中，，， ∴． （3）在平面上作交于点，于点， 则为在平面上的射影， ∴, ∴为二面角的平面角， 在等腰三角形中，，∴，∴． 又二面角的平面角与互补， 所以二面角的余弦值为． 法2：（1）同上． （2）建立如图所示建系， 则， 设是平面的法向量，点到平面的距离， 可求得一个法向量为，, ． （3）可知是平面的法向量， 设是平面的法向量，求得一个法向量． 设是为二面角的平面角，则， 又因为二面角的平面角是钝角，所以． 考点：1、直线与平面平行的判定；2、点到平面的距离；3、二面角． 【方法点睛】判断或证明线面平行的常用方法有：（1）利用线面平行的定义（无公共点）；（2）利用线面平行的判定定理（，，）；（3）利用面面平行的性质定理（，）；（4）利用面面平行的性质（，，）．