已知函数（）． （1）求函数的单调区间； （2）函数在定义域内存在零点，求的取值...

（1）详见解析；（2）；（3） 【解析】 试题分析：（1）先求函数的导数，分和求函数的单调区间； （2）将的零点问题，转化为，的问题，所以设函数（），求函数的导数，在定义域内分析函数的单调区间，根据单调性和极值点得到函数的最小值，然后再根据函数的变化速度分析函数没有最大值，趋于正无穷大； （3）由（2）知，当时，，即，先分析法证明：． 根据，将问题转化为证明，然后结合（1）所讨论的单调区间，求得满足条件的的取值范围． 试题解析：（1）由，则． 当时，对，有，所以函数在区间上单调递增； 当时，由，得；由，得， 此时函数的单调增区间为，单调减区间为． 综上所述，当时，函数的单调增区间为； 当时，函数的单调增区间为，单调减区间为． （2）函数的定义域为， 由，得（） 令（），则， 由于，，可知当，；当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增，故． 又由（1）知当时，对，有，即， （随着的增长，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢．则当且无限接近于0时，趋向于正无穷大．） ∴当时，函数有零点； （3）由（2）知，当时，，即． 先分析法证明：． 要证只需证明即证 设，则 所以在时函数单调递增，所以，则 当时，由（1）知，函数在单调递增，则在恒成立； 当时，由（1）知，函数在单调递增，在单调递减．故当时，所以，则不满足题意，舍去． 综上，满足题意的实数a的取值范围为． 考点：导数的综合运用 【方法点睛】此题考查了导数的综合应用，属于压轴题型，第一问比较常规，求导后，讨论导数存在极值点和不存在极值点的情况，即讨论和两种情况，第二问处理定义域内的零点问题，我们的方法主要是法一是分析函数本身，求导，分析函数的单调性，和极值以及最值，讨论函数与轴有交点的问题，法二是如本题的方法，首先反解（），通过构造函数（），并求其导数，并分析函数的单调性和最值和值域，就是的范围，而对于第三问，就是本题的难点了，可以先判断，并采用分析法证明，所证明成立，那么当时，那么就是单调递增函数，根据第一问所求函数的导数，并讨论值判断函数的单调性，从而得到的取值范围．