设函数，其中． （1）若函数图象恒过定点P，且点P关于直线的对称点在的图象上，求...

（1）；（2）当时，在上为增函数，时，在上为增函数，在为减函数；（3）（0，+∞）． 【解析】 试题分析：（1）先得出点关于直线对称点为，由题意得可得，求出的值； （2）先求函数的定义域，然后对函数求导，在对字母m分类讨论，分别判定函数的单调性；（3）对于存性性问题，可先假设存在，即假设曲线上存在两点满足题意，在P、Q只能在轴的同侧，在利用为以为顶点的直角三角形，求出a的取值范围，若出现矛盾，则假设不成立，即不存在；否则存在． 试题解析：由题意得，（1）令，则， 关于的对称点为（1，0）， 由题知． （2），定义域为， ． ∵则，∴当时，>0,此时在上单调递增， 当时，由得 由得，此时在上为增函数，在为减函数， 综上当时，在上为增函数， 时，在上为增函数，在为减函数． （3）由条件（1）知． 假设曲线上存在两点、满足题意，则、两点只能在轴两侧， 设则 ∵△POQ是以为直角顶点的直角三角形，∴,即．① （1）当时，此时方程①为 化简得．此方程无解，满足条件的、两点不存在． （2）当时，，方程①为 即 设则 显然当时即在（2，+∞）为增函数，∴的值域为即（0，+∞） ∴当时方程①总有解． 综上若存在、两点满足题意，则的取值范围是（0，+∞）． 考点：利用导数研究函数的单调性及函数与方程的综合应用． 【易错点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及函数与方程的综合应用，属于难度较大的试题，解题时若含有参数，要对参数的取值进行分类讨论，而分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会在其解题中的运用，是题目的一个重点和难点，其中对于存性性问题，可先加上存在，本题中假设曲线上存在两点满足题意，在P、Q只能在y轴的同侧，在利用为以为顶点的直角三角形，求出a的取值范围，其中对参数的合理分类讨论，做到不重不漏是解答的一个易错点．