已知椭圆C：的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线 与以原点为圆心，以椭...

（1）；（2）证明见解析． 【解析】 试题分析：（1）根据等轴双曲线的离心率，可的椭圆的离心率为，因此直线方程与原点为圆心，一椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，利用点到直线的距离和直线与圆相切的性质可得，再利用的关系即可求出；（2）分直线AB的斜率不存在和存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线方程为与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及斜率公式，可证明． 试题解析：（1）【解析】 等轴双曲线的离心率为，椭圆的离心率， 又直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切， ，即， 联立，解得， 椭圆的方程为． （2）证明：由（1）可知：． ①若直线的斜率不存在，设方程为，则，． 由已知得，解得， 此时直线的方程为，显然过点． ②若直线的斜率存在，设直线的方程为，由椭圆，． 设，．联立． 化为， ，．（） ，， ，化为． 把（）代入得，，． 直线的方程为，即， 直线过定点． 考点：椭圆的标准方程及直线与圆锥曲线的综合应用． 【易错点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与圆锥曲线的综合应用，属于中档试题，熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与圆的性质，点到直线的距离公式、直线与椭圆相交等问题的转化联立方程组，利用一元二次方程根与系数的关系，直线的斜率公式等是解答的关键，其中直线斜率的分类讨论是解答的一个易错点．