已知函数的图象过坐标原点，且在点处的切线的斜率是． （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）求...

（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，最大值为2，当时，最大值为；（Ⅲ）存在，理由见解析． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由导数的几何意义与过原点列方程组易得；（Ⅱ）根据分段函数，分类讨论求最值，利用导数确定函数的单调性，从而可得最值；（Ⅲ）假设存在，设出，利用，可得，是否存在点，等价于方程是否有解，分类讨论，即可得到讨论． 试题解析：（Ⅰ）当时，，则。 依题意得：，即 解得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ①当时，，令得 又，，。∴在上的最大值为2． ②当时, ．当时, ,最大值为0； 当时, 在上单调递增。∴在最大值为。 综上，当时，即时，在区间上的最大值为2； 当时，即时，在区间上的最大值为。 （Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。 不妨设，则，显然 是以O为直角顶点的直角三角形，∴即 （*） 若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q； 若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q． 若，则代入（*）式得： 即，而此方程无解，因此。此时， 代入（*）式得： 即 （**） 令 ，则 ∴在上单调递增， ∵ ∴,∴的取值范围是。 ∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解 考点：1、导数的几何意义；2、利用导数求闭区间上分段函数最值；3、三角形中的几何计算；4、函数图象上点是否存在性的探究性问题．