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已知分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为8,则双曲...

已知满分5 manfen5.com分别为双曲线满分5 manfen5.com的左、右焦点P为双曲线右支上的任意一点满分5 manfen5.com的最小值为8满分5 manfen5.com则双曲线的离心率满分5 manfen5.com的取值范围是(   )

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A 【解析】 试题分析:P为双曲线右支上的任意一点,由双曲线定义知,所以,即,当且仅当“=”即时,等号成立,又由图象知,当P运动到双曲线右顶点时有最小值,因为的最小值为8, 所以能取得,即双曲线右支上存在点P,满足,所以必须有,解得,又双曲线的离心率,故选A. 考点:1、双曲线定义;2、均值不等式;3、双曲线几何性质;4、离心率. 【方法点晴】本题主要考查的是双曲线的定义,双曲线的几何性质和利用均值不等式研究最小值,求离心率的范围,属于难题.解题时首先要注意双曲线定义的应用,这是此题的突破点,然后使用均值不等式,特别注意等号成立的条件,根据等号成立确定能够取得.转化为双曲线右支上存在到距离为的点P,所以双曲线右支上点到距离的最小值不能大于,由双曲线几何性质知,右支上所有点中右顶点到右焦点距离最小,从而建立不等式,这是本题的难点和关键点,到此就可以得到离心率的范围,同时注意不要遗漏双曲线离心率大于1.  
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