已知数列满足且，且，设 ，数列满足． （Ⅰ）求证是等比数列并求出数列的通项公式；...

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）对等式进行变形，使出现，即，利用迭代法可得，，，可见为等比例数列；（Ⅱ）将代入中，便能求得，将，代入，能求得，利用错位法求前n项和；（Ⅲ）解不等式，首先要求出的最大值，利用的正负，可判断数列在上的单调性，从而求出最大值为，则有，显然，可将其化简为恒成立，由于，可列不等式组，求出m即可． 试题解析：（1） （2） 由（1）知，， 两式相减得 （3） …9分 ∴当时， 当∴当或时， 取最大值是 只须 即对于任意恒成立 即 考点：1、数列的通项以及用错位法求前n项和；2、解不等式． 【方法点睛】本题主要考察等比数列的判定，数列的前n项和，以及解不等式．等比数列数列的的判定，需要清楚以下几点：即可判定数列为等比数列；如果数列为等差或者等比，可直接利用公式求前n项和，对于其他数列，可根据通项公式适当选择合适方法进行求和，如题中通项公式为一个等差数列与一个等比数列通项公式的乘积，故适合用错位的方法求解．对于第3题，首先要求得数列的最大值，再此，数列可作为特殊的函数，利用函数的单调性求出最大值，方可进行解不等式．