已知函数，． （1）若，过点作曲线的切线，求的方程； （2）若曲线与直线只有一个...

（1）和；（2）. 【解析】 试题分析：（1）问题是求过点的切线，由于此点不一定是切点，因此可设切点为，利用导数的几何意义写出切线方程，然后把点坐标代入可求得，得切线方程；（2）题意说明方程只有一个根，即方程只有一个根，设，此函数只有一个零点，则是单调的或的两个极值同号，由于，有两个不等实根，设为且，因此有两个极值点，且是极大值，是极小值，又，故，从而，这里不能具体地通过解方程解出（否则没法处理）， 由，得，代入化简得，作为的函数可证明它是减函数，又，因此，即，这样问题转化为方程在上有解，可得． 试题解析：（1）设切点为，则处的切线方程为. 该直线经过点，所以有， 化简得，解得或， 所以切线方程为和. （2）由题得方程只有一个根， 设， 则，因为 所以有两个零点，即（）， 且，， 不妨设，所以在单调递增，在单调递减， 为极大值，为极小值， 方程只有一个根等价于且， 或者且， 又， 设，所以，所以为减函数， 又，所以时，时， 所以大于或小于，由知，只能小于， 所以由二次函数性质可得，所以. 考点：利用导数求切线，函数的零点，转化与化归，函数的单调性与极值． 【名师点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异；过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点． （2）求函数对应曲线在某一点处的切线的斜率，只要求函数在该点处的导数即可． （3）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．