函数． （1）若，求函数的定义域； （2）设，当实数时，证明：．

在平面直角坐标系中，已知曲线（θ为参数），将上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线，以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线．

（1）试写出曲线的极坐标方程与曲线的参数方程；

（2）在曲线上求一点，使点到直线的距离最小，并求此最小值．

已知为半圆的直径，，为半圆上一点，过点圆的切线，过点作于，交半圆于点．

（1）证明：平分；

（2）求的长．

设函数在处的切线与轴相交于点．

（1）求的值；

（2）函数能否在处取得极值？若能取得，求此极值；若不能，请说明理由；

（3）当时，试比较与大小．

设为关于的次多项式，数列的首项，前项和为，对于任意的正整数，都成立．

（1）若，求证：数列是等比数列；

（2）试确定所有的自然数，使得数列能成等差数列．

如图，在地正西方向的处和正东方向的处各有一条正北方向的公路和，现计划在和路边各维修一个物流中心和，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路和，设．

（1）为减少对周边区域的影响，试确定的位置，使和的面积之和最小；

（2）为节省建设成本，试确定的位置，使的值最小．