已知函数f（x）=x2+mx+nlnx（x＞0，实数m，n为常数）． （1）若n...

（1）先求导，求函数在已知区间上的极值，注意极值点是否在定义域内，进行分类讨论，确定最值；（2）函数在区间上单调递减，转化为导函数小于等于0恒成立，再转化为二次函数根的分布问题． 【解析】 （1）当n+3m2=0时，f（x）=x2+mx-3m2lnx． 则． 令f′（x）=0，得（舍），x=m．（3分） ①当m＞1时， ∴当x=m时，fmin（x）=2m2-3m2lnm． 令2m2-3m2lnm=0，得．（5分） ②当0＜m≤1时，f′（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立， f（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，当x=1时，fmin（x）=1+m． 令m+1=0，得m=-1（舍）．综上所述，所求m为．（7分） （2）∵对于任意的实数a∈[1，2]，b-a=1， f（x）在区间（a，b）上总是减函数，则对于x∈（1，3）， ＜0， ∴f′（x）≤0在区间[1，3]上恒成立．（9分） 设g（x）=2x2+mx+n，∵x＞0， ∴g（x）≤0在区间[1，3]上恒成立． 由g（x）二次项系数为正，得 即亦即（12分） ∵（-n-2）=， ∴当n＜6时，m≤，当n≥6时，m≤-n-2，（14分） ∴当n＜6时，h（n）=， 当n≥6时，h（n）=-n-2，即（16分）