设a∈R，函数f（x）=ax3-3x2．（1）若x=2是函数y=f（x）的极值...

设a∈R，函数f（x）=ax³-3x²．
（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若函数g（x）=e^xf（x）在[0，2]上是单调减函数，求实数a的取值范围．

（1）由条件“x=2是函数y=f（x）的极值点”可知f'（2）=0，解出a，需要验证在x=2处附近的导数符号有无改变；（2）由在[0，2]上是单调减函数可转化成在[0，2]上导函数恒小于零，再借助参数分离法分离出参数a，再利用导数法求出另一侧的最值即可．【解析】（Ⅰ）f'（x）=3ax2-6x=3x（ax-2）．因为x=2是函数y=f（x）的极值点，所以f'（2）=0，即6（2a-2）=0，所以a=1．经检验，当a=1时，x=2是函数y=f（x）的极值点．即a=1．（6分）（Ⅱ）由题设，g′（x）=ex（ax3-3x2+3ax2-6x），又ex＞0，所以，∀x∈（0，2]，ax3-3x2+3ax2-6x≤0，这等价于，不等式对x∈（0，2]恒成立．令（x∈（0，2]），则，所以h（x）在区间（0，2]上是减函数，所以h（x）的最小值为．所以．即实数a的取值范围为．（13分）

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考点分析：

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