已知函数f（x）=（x＞0）， （1）函数f（x） 在区间（0，+∞）上是增函数...

（1）求导函数，确定导数的符号，即可得到结论； （2）当x＞0时，f（x）＞恒成立，即证明（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x（x＞0），利用导数求得g（x）的最小值即可； （3）由（2）知：＞（x＞0），从而令x=n（n+1），得ln[1+n（n+1）]＞2-=2-3（ ），对原不等式两边取对数，放缩求和即可证得结论 （1）【解析】 由题意知x＞0，则f′（x）=-＜0， 故f（x）在区间（0，+∞）上是减函数； （2）证明：当x＞0时，f（x）＞恒成立，即证明（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0在（0，+∞）上恒成立， 令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x（x＞0）， 则g′（x）=ln（x+1）-1， 当x＜e-1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞e-1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增， 所以x=e-1时，g（x）取得最小值，且最小值g（e-1）=3-e＞0， 所以当x＞0时，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0在（0，+∞）上恒成立， 故当x＞0时，f（x）＞恒成立； （3）证明：由（2）知：＞（x＞0）， ∴ln（x+1）＞-1=2-＞2-， 令x=n（n+1），则ln[1+n（n+1）]＞2-=2-3（）， 又ln[（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））]=ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln（1+n×（n+1））＞2n-3[（1-）+（-）+…+（-）]=2n-3（1-）=2n-3+＞2n-3 所以（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•[1+n（n+1）]＞e2n-3．