已知二次函数f（x）满足以下两个条件： ①不等式f（x）＜0的解集是（-2，0）...

（Ⅰ）由题意，设f（x）=ax（x+2）（a＞0），确定函数的对称轴，利用函数f（x）在x∈[1，2]上的最小值，即可求得函数解析式； （Ⅱ）（ⅰ）利用点（an，an+1）（n∈N*）在函数f（x）的图象上，化简可得lg（1+an+1）=2lg（1+an），即可证得数列{lg（1+an）}是以2为首项，2为公比的等比数列； （ⅱ）要使不等式kn2bn＞（n+1）bn+1对于一切的n∈N*恒成立，则kn2-2n-2＞0对于一切的n∈N*恒成立．利用n=1时，k-2-2＞0成立，可得k＞4，再验证kn2-2n-2＞0对于一切的n∈N*恒成立即可． （Ⅰ）【解析】 由题意，设f（x）=ax（x+2）（a＞0），∴函数的对称轴为直线x=-1 ∴函数f（x）在x∈[1，2]上的最小值是f（1）=3a=3 ∴a=1 ∴f（x）的解析式为f（x）=ax（x+2）； （Ⅱ）（ⅰ）证明：∵点（an，an+1）（n∈N*）在函数f（x）的图象上， ∴an+1=an2+2an，∴1+an+1=（1+an）2， ∴lg（1+an+1）=2lg（1+an） ∵a1=99 ∴lg（1+a1）=2 ∴数列{lg（1+an）}是以2为首项，2为公比的等比数列； （ⅱ）【解析】 bn=lg（1+an）=2n，要使不等式kn2bn＞（n+1）bn+1对于一切的n∈N*恒成立，则kn2-2n-2＞0对于一切的n∈N*恒成立． n=1时，k-2-2＞0成立，即k＞4； 设g（n）=kn2-2n-2，当k＞4时，由于对称轴为n=＜1，且g（1）＞0，而函数f（x）在[1，+∞）上是增函数 ∴kn2-2n-2＞0对于一切的n∈N*恒成立 ∴k＞4时，不等式kn2bn＞（n+1）bn+1对于一切的n∈N*恒成立．