已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数． （Ⅰ）求b的值； （Ⅱ）判断函数f（x...

（Ⅰ）利用奇函数定义f（x）=-f（x）中的特殊值f（0）=0求b的值； （Ⅱ）设x1＜x2然后确定f（x1）-f（x2）的符号，根据单调函数的定义得到函数f（x）的单调性； （III）结合单调性和奇函数的性质把不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围． 【解析】 （Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0， 即 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 设x1＜x2则f（x1）-f（x2）=-= 因为函数y=2x在R上是增函数且x1＜x2∴f（x1）-f（x2）=＞0 即f（x1）＞f（x2） ∴f（x）在（-∞，+∞）上为减函数 （III）f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，又因为f（x）是奇函数， 所以f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0 等价于f（t2-2t）＜-f（2t2-k）=f（k-2t2）， 因为f（x）为减函数，由上式可得：t2-2t＞k-2t2． 即对一切t∈R有：3t2-2t-k＞0， 从而判别式 ． 所以k的取值范围是k＜-．