已知函数f（x）满足：①∀x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），②∀x＞...

①先判断f（x）奇偶性，即找出f（-x）与f（x）之间的关系，令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），故问题转化为求f（0）即可，可对x、y都赋值为0； ②再依据函数单调性的定义判断函数的单调性，任取x1＜x2，充分利用条件当x＞0时，有f（x）＞0与f（x+y）=f（x）+f（y），即可判定f（x2）＞f（x1）从而得出其单调性． 【解析】 显然f（x）的定义域是R，关于原点对称． 又∵函数对一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）， ∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0． 再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）， ∴f（-x）=-f（x）， ∴f（x）为奇函数． 任取x1＜x2，x2-x1＞0，则f（x2-x1）＞0 ∴f（x2）+f（-x1）＞0； 对f（x+y）=f（x）+f（y）取x=y=0得：f（0）=0， 再取y=-x得f（x）+f（-x）=0即f（-x）=-f（x）， ∴有f（x2）-f（x1）＞0 ∴f（x2）＞f（x1） ∴f（x）在R上递增． 故选D．