已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d≠0，且第二项、第四项、第十四项分别是...

（1）用首项和公差表示等差数列的第二项、第四项、第十四项，由等差数列的第二项、第四项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项，利用等比中项概念列式求得首项和公差的关系，则公差可求，等差数列的通项公式可求，进一步求出a2，a4，a14后可求等比数列的通项公式； （2）把（1）中求得的an代入cn=16+an，然后可得数列{cn}为等差数列，写出其前n项和后利用配方求其最大值． 【解析】 （1）在等差数列{an}中，a2=a1+d，a4=a1+3d，a14=a1+13d， 因为a2，a4，a14分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项， 所以，，即，4d2=-8a1d． 因为公差d≠0，所以d=-2a1． 因为a1=1，所以d=-2． 所以an=a1+（n-1）d=1-2（n-1）=3-2n． 由b2=a2=3-2×2=-1，b3=a4=3-2×4=-5， 所以，，． 则． （2）由cn=16+an=16+3-2n=19-2n， 则cn-1=19-2（n-1）=21-2n（n≥2），  所以，cn-cn-1=（19-2n）-（21-2n）=-2（n≥2）， c1=19-2×1=17． 则数列{cn}是首项为17，公差为-2的等差数列， 则Sn= = =-（n-9）2+81． 所以当n=9时，S9=81最大．