已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a＞0），设F（x）=f（x）+g（x）．...

（I）先求出F（x），然后求出F'（x），分别求出F′（x）＞0与F′（x）＜0 求出F（x）的单调区间； （II）利用导数的几何意义表示出切线的斜率k，根据恒成立将a分离出来，，即可求出a的范围，从而得到a的最小值； （III）p函数y=g（）+m-1的图象与y=f（1+x2）的图象有四个不同的交点转化成方程有四个不同的根，分离出m后，转化成新函数的最大值和最小值． 【解析】 （I），． 因为a＞0由F′（x）＞0⇒x∈（a，+∞），所以F（x）在（a，+∞）上单调递增； 由F′（x）＜0⇒x∈（0，a）， 所以F（x）在（0，a）上单调递减． （Ⅱ）由题意可知对任意0＜x≤3恒成立， 即有对任意0＜x≤3恒成立，即， 令， 则，即实数a的最小值为． （III）若y=g（）+m-1═的图象与y=f（1+x2）=ln（x2+1）的图象恰有四个不同交点， 即有四个不同的根， 亦即有四个不同的根． 令， 则． 当x变化时G'（x）．G（x）的变化情况如下表： 由表格知：． 又因为可知，当时， 方程有四个不同的解． ∴的图象与 y=f（1+x2）=ln（x2+1）的图象恰有四个不同的交点．