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已知函数f(x)=x2-(c+1)x+c(c∈R). (1)解关于x的不等式f(...

已知函数f(x)=x2-(c+1)x+c(c∈R).
(1)解关于x的不等式f(x)<0;
(2)当c=-2时,不等式f(x)>ax-5在(0,2)上恒成立,求实数a的取值范围;
(3)设g(x)=f(x)-ax,已知0<g(2)<1,3<g(3)<5,求g(4)的范围.
(1)f(x)<0,可化为x2-(c+1)x+c=(x-1)(x-c)<0,对c分类讨论,即可得到不等式的解集; (2)当c=-2时,f(x)>ax-5在(0,2)上恒成立,等价于x2+x-2>ax-5在(0,2)上恒成立,即ax<x2+x+3在(0,2)上恒成立,分离参数,求最值,即可求实数a的取值范围; (3)利用0<g(2)<1,3<g(3)<5,建立不等式,将g(4)用g(2),g(3)表示,即可求g(4)的范围. 【解析】 (1)∵f(x)<0,∴x2-(c+1)x+c=(x-1)(x-c)<0…(1分) ①当c<1时,c<x<1 ②当c=1时,(x-1)2<0,∴x∈φ ③当c>1时,1<x<c…(3分) 综上,当c<1时,不等式的解集为{x|c<x<1},当c=1时,不等式的解集为φ,当c>1时,不等式的解集为{x|1<x<c}.         …(4分) (2)当c=-2时,f(x)>ax-5在(0,2)上恒成立,等价于x2+x-2>ax-5在(0,2)上恒成立, 即ax<x2+x+3在(0,2)上恒成立, ∴a<()min, 设g(x)=,则g(x)=+1≥2+1 当且仅当,即x=∈(0,2)时,等号成立 ∴g(x)min=2+1 ∴a<2+1; (3)∵g(2)=f(2)-2a=2-c-2a,∴0<2-c-2a<1 ∴1<c+2a<2 ∵g(3)=f(3)-3a=6-2c-3a,∴3<2-c-2a<5,∴1<2c+3a<3…(10分) ∵g(4)=f(4)-4a=12-3c-4a 设-3c-4a=x(c+2a)+y(2c+3a)=(x+2y)c+(2x+3y)a…(11分) ∴,∴…(12分) ∴-3c-4a=x(c+2a)+y(2c+3a)=(c+2a)+[-2(2c+3a)] ∵1<c+2a<2-6<-2(2c+3a)<-2,∴,∴$\end{array}\right.7<12-3c-4a<12$…(13分) ∴7<g(4)<12…(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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