已知函数f（x）=2x3-3ax2+1． （1）若x=1为函数f（x）的一个极值...

（1）先求导函数，然后根据x=1为函数f（x）的一个极值点，则f'（1）=0求出a的值，最后利用导数符号确定函数的极值点，代入原函数，求出极值即可； （2）讨论a的正负，然后分别解f′（x）＞0与f′（x）＜0，即可求出函数的单调区间． 【解析】 （1）∵f（x）=2x3-3ax2+1，∴f'（x）=6x2-6ax．依题意得f'（1）=6-6a=0，解得a=1． 所以f（x）=2x3-3x2+1，f'（x）=6x（x-1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=1．列表如下： x （-∞，0） （0，1） 1 （1，+∞） f′（x） + - + f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以当x=0时，函数f（x）取得极大值f（0）=1； 当x=1时，函数f（x）取得极小值f（1）=0． （2）∵f′（x）=6x2-6ax=6x（x-a）， ∴①当a=0时，f′（x）=6x2≥0，函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增； ②当a＞0时，f′（x）=6x（x-a），f′（x）、f（x）随x的变化情况如下表： x （-∞，0） （0，a） a （a，+∞） f′（x） + - + f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由上表可知，函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增； ③同理可得，当a＜0时，函数f（x）在（-∞，a）上单调递增，在（a，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增． 综上所述，当a=0时，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，+∞）； 当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（a，+∞），单调递减区间是（0，a）； 当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，a）和（0，+∞），单调递减区间是（a，0）．