设函数f（t）对任意的整数x、y，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，...

设函数f（t）对任意的整数x、y，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，且f（1）=1．
（I）当t∈Z时，用t的代数式表示g（t）=f（t+1）-f（t）；
（II）当t∈Z时，求函数f（t）的解析式；
（Ⅲ）如果x∈[-1，1]，a∈R，且 manfen5.com 满分网

恒成立，求实数a的取值范围．

（I）对抽象函数所满足的关系式，进行赋值，分别令x=t，y=1，代入化简即可得到结论；（II）由（I）知，分别令t=1，2，3，…，得出t-1个式子，将这t-1个式子相加后化简即可得到函数f（t）的解析式；（III）由（II）可知，从而不等式，可转化为1+2x+3x+4x+…+2012x＞2013x•a，也即最后利用而函数的单调性转化为恒成立问题即可求出实数a的取值范围．【解析】（I）由题设可令x=t，y=1，得f（t+1）=f（t）+f（1）+2t ∵f（1）=1 ∴f（t+1）=f（t）+1+2t ∴…（3分）（II）由（I）知 ∴f（2）-f（1）=2×1+1， f（3）-f（2）=2×2+1， f（4）-f（3）=2×3+1， …， ∴f（t）-f（1）=2[1+2+3+…+（t+1）]+（t-1）=t2-1 ∴当t∈Z时，函数f（t）的解析式为…（7分）．（III）由（II）可知，所以不等式，可转化为1+2x+3x+4x+…+2012x＞2013x•a 也即…（9分）而函数在x∈[-1，1]上单调减，所以要使x∈[-1，1]，恒成立，则有a＜g（x）min，而， ∴实数a的取值范围为（-∞，1006）…（12分）．

复制答案

考点分析：

相关试题推荐

已知a＞0，函数f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是单调函数．
①求函数 manfen5.com 满分网