已知a＞0，函数f（x）=x3-ax在[1，+∞）上是单调函数． ①求函数的最小...

（1）已知函数f（x）=x3-ax在[1，+∞）上是单调函数，故f′（x）≥0或≤0在[1，+∞）上恒成立，用分离参数求最值即可求得a的范围，然后运用基本不等式即可求得g（a）的最小值． （2）结合（1）中的单调性用反证法考虑或直接证明． 【解析】 ①∵f（x）=x3-ax，∴f'（x）=3x2-a， f（x）在[1，+∞）上是单调函数， 若f'（x）≤0，即a≥3x2，但a≥3x2对x∈[1，+∞）不可能恒成立， ∴f'（x）≤0对x∈[1，+∞）不可能恒成立， ∴y=f（x）在[1，+∞）不能单调递减，只能单调递增， 又由f'（x）≥0，得a≤3x2，对x∈[1，+∞）恒成立，∴a≤3， 又a＞0，∴a∈（0，3]， ∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，且a∈（0，3]， 而， ∴当且仅当，即时，． ②证法一：设f（x）=u，则f（u）=x， ∴， ∵x≥1，u≥1，且0＜a≤3， ∴，∴x-u=0，即x=u， 故f（x）=x． 证法二：（反证法） 假设f（x）≠x，则有f（x）＞x或f（x）＜x． 若f（x）＞x，又由（1）知函数f（x）在[1，+∞）单调递增，而x≥1，f（x）≥1 ∴f[f（x）]＞f（x）＞x与f[f（x）]=x矛盾． 所以f（x）＞x不成立． 若f（x）＜x，则可得f[f（x）]＜f（x）＜x与f[f（x）]=x矛盾． 所以f（x）＜x也不成立． 故f（x）=x．