已知二次函数f（x）满足f（0）=2和f（x+1）-f（x）=2x-1对任意实数...

已知二次函数f（x）满足f（0）=2和f（x+1）-f（x）=2x-1对任意实数x都成立．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当t∈[-1，3]时，求y=f（2^t）的值域．

（1）设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=2可求得c，由f（x+1）-f（x）=2x-1，得2ax+a+b=2x-1，所以，可求a，b，从而可得f（x）；（2）y=f（2t）=（2t）2-2•2t+2=（2t-1）2+1，由t∈[-1，3]，可得2t的范围，进而可求得y=f（2t）的值域．【解析】（1）由题意可设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），则由f（0）=2得c=2，由f（x+1）-f（x）=2x-1得，a（x+1）2+b（x+1）+2-ax2-bx-2=2x-1对任意x恒成立，即2ax+a+b=2x-1， ∴， ∴f（x）=x2-2x+2；（2）∵y=f（2t）=（2t）2-2•2t+2=（2t-1）2+1，又∵当t∈[-1，3]时，， ∴，（2t-1）2∈[0，49]， ∴y∈[1，50]，即当t∈[-1，3]时，求y=f（2t）的值域为[1，50]．

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考点分析：

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定义：区间[x₁，x₂]（x₁＜x₂）的长度为x₂-x₁．已知函数y=|log_0.5x|定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度的最大值为．查看答案

已知函数

，满足对任意x₁≠x₂，都有 manfen5.com 满分网

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试题属性

题型：解答题
难度：中等