已知f（x）=xlnx-ax，g（x）=-x2-2． （1）当a=-1时，求f（...

（1）求出函数的导函数，当a=-1时，f′（x）=lnx+2，令f′（x）=lnx+2＞0，得函数的单调递增区间是，令f′（x）=lnx+2＜0，得函数的单调递减区间是 （2）把f（x）≥g（x）恒成立转化为对一切x∈（0，+∞），恒成立，构造函数，研究F（x）的最小值； （3）要证不等式在一个区间上恒成立，结合（1）把问题进行等价变形，研究函数f（x）的最小值和函数G（x）的最大值进行比较即可． 【解析】 （1）函数的定义域是（0，+∞） 当a=-1时，f′（x）=lnx+2 令f′（x）=lnx+2＞0，得 令f′（x）=lnx+2＜0，得 ∴函数的单调递增区间是 函数的单调递减区间是 （2）∵对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立， ∴对一切x∈（0，+∞），xlnx-ax≥-x2-2恒成立． 即对一切x∈（0，+∞），恒成立． 令 ∵ ∴当0＜x＜1时，F′（x）＜0，函数递减，当x＞1时，F′（x）＞0，函数递增． ∴F（x）在x=1处取极小值，也是最小值，即Fmin（x）=F（1）=3 ∴a≤3 （3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立． 等价于证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立． 由（1）知，当a=-1时f（x）=xlnx+x， 令， 当x∈（0，1）时，G′（x）＞0，函数G（x）递增，当x∈（1，+∞）时，G′（x）＜0，函数G（x）递减．f（x）min＞G（x）max ∴当x=1时，函数G（x）取到极大值，也是最大值． ∴ ∵- ∴f（x）min＞G（x）max ∴对一切x∈（0，+∞），都有成立．