设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为实数，且a≠0），F（x）= （1...

（1）由f（x）=ax2+bx+c，知f'（x）=2ax+b．由曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，推导出b=2a，由f（-1）=0，知b=a+c．由曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），知c=2a+3，由此能求出f（x）的表达式． （2）由f（x）=-3x2-6x-3，知g（x）=kx-f（x）=3x2+（k+6）x+3．由g（x）在[-1，1]上是单调函数，能求出k的取值范围． （3）由f（x）是偶函数，知f（x）=ax2+c．由mn＜0，m+n＞0，知m，n异号．由此能证明F（m）+F（n）＞0． 【解析】 （1）因为f（x）=ax2+bx+c，所以f'（x）=2ax+b． 又曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，故f'（-1）=0， 即-2a+b=0，因此b=2a．① 因为f（-1）=0，所以b=a+c．② 又因为曲线y=f（x）通过点（0，2a+3）， 所以c=2a+3．③ 解由①，②，③组成的方程组，得a=-3，b=-6，c=-3． 从而f（x）=-3x2-6x-3．…（4分） （2）由（Ⅰ）知f（x）=-3x2-6x-3， 所以g（x）=kx-f（x）=3x2+（k+6）x+3． 由g（x）在[-1，1]上是单调函数知：或， 得 k≤-12或k≥0．…（9分） （3）因为f（x）是偶函数，可知b=0． 因此f（x）=ax2+c．…（10分） 又因为mn＜0，m+n＞0， 可知m，n异号． 若m＞0，则n＜0． 则F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am2+c-an2-c=a（m+n）（m-n）＞0．…（12分） 若m＜0，则n＞0． 同理可得F（m）+F（n）＞0． 综上可知F（m）+F（n）＞0．…（14分）