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manfen5.com 满分网已知三棱锥P-ABC中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=manfen5.com 满分网AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
(Ⅰ)证明:CM⊥SN;
(Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小.
由PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN,我们不妨令PA=1,然后以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系.由此不难得到各点的坐标(1)要证明CM⊥SN,我们可要证明即可,根据向量数量积的运算,我们不难证明; (2)要求SN与平面CMN所成角的大小,我们只要利用求向量夹角的方法,求出SN和方向向量与平面CMN的法向量的夹角,再由它们之间的关系,易求出SN与平面CMN所成角的大小. 证明:设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图. 则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0), M(1,0,),N(,0,0),S(1,,0).(4分) (Ⅰ), 因为, 所以CM⊥SN(6分) (Ⅱ), 设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量, 则令x=2,得a=(2,1,-2). 因为, 所以SN与片面CMN所成角为45°.
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考点分析:
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