已知函数在x=1处取得极值2． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）若函数f（...

（I）先由已知函数求其导数，再根据函数f（x）在x=1处取得极值2，列出关于a，b的方程即可求得函数f（x）的解析式； （II）求f′（x），令f′（x）＞0，令f′（x）＜0，求出函数的单调区间，再由函数f（x）在区间（t，2t+1）上是单调函数，能够求出实数t的取值范围． （Ⅲ）求得函数f（x）的极小值，且当x＞1时，f（x）＞0恒成立，得函数f（x）的最小值，利用二次函数的图象，对a进行分类讨论，得出g（x）在[-1，1]上的最大值，由g（x）在[-1，1]上的最大值小于等于-2得a的范围，结合分类时a的范围得a的取值范围． 【解析】 （I）f′（x）==， 由题意得，解得， ∴f（x）=． （II）f′（x）=，令f'（x）=0，得x=-1或x=1 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （-∞，-1） -1 （-1，1） 1 （1，+∞） f'（x） - + - f（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ∴f（x）的减区是（-∞，-1），（1，+∞）；增区间是（-1，1）． ∵函数f（x）在区间（t，2t+1）上是单调函数， ∴，或-1≤t＜2t+1≤1，或， 解得-1＜t≤0或t＞1． 故实数t的取值范围是（-1，0]∪（1，+∞）． （Ⅲ）由（Ⅱ）知f（x）在x=-1处取得极小值f（-1）=-2， 在x=1处取得极大值f（1）=2 又∵x＞0时，f（x）＞0， ∴f（x）的最小值为-2，（10分） ∵对于任意的x1∈R，总存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）≤f（x1） ∴当x∈[-1，1]时，g（x）最小值不大于-2， 又g（x）=x2-2ax+a=（x-a）2+a-a2 当a≤-1时，g（x）的最小值为g（-1）=1+3a， 由1+3a≤-2，得a≤-1，（11分） 当a≥1时，g（x）最小值为g（1）=1-a，由1-a≤-2，得a≥3 当-1＜a＜1时，g（x）的最小值为g（a）=a-a2 由a-a2≤-2，得a≤-1或a≥2，又-1＜a＜1， 所以此时a不存在．（12分） 综上，a的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）．（13分）．