如图，四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形． （Ⅰ）求证：...

（1）根据△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形，取其公共边BC的中点E，连接AE、DE后可得BC与AE和DE都垂直，然后运用线面垂直的判定得到BC垂直于平面AED，从而得到要证的结论； （2）设出棱长AD=x，把三棱锥A-BCD的体积用三棱锥B-AED和C-AED的体积表示，最后把棱锥体积化为关于x的函数关系，用二次函数的知识求解最大值． （Ⅰ）证明 取BC的中点E，连接AE，DE， ∵△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形， ∴AE⊥BC，DE⊥BC． 又∵AE∩DE=E， ∴BC⊥平面AED．又AD⊂平面AED， ∴BC⊥AD．  （Ⅱ）【解析】 ∵△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形， ∴AE=DE，∴△AED为等腰三角形， 在直角三角形ABE中，AE=． ∴， 设AD=x，取F为棱AD的中点，∴EF⊥AD， 则， =， ∴= =， 根式内为关于x2的二次三项式，其对应的图象为开口向下的抛物线， 所以，当x2=24，即时，Vmax=8， ∴该四面体存在最大值，最大值为8， 此时棱长．