设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d是奇函数，且当时，f（x）取得极小值． ...

（1）由f（x）为奇函数，知b=d=0，由及，知a=-1，c=1，由此能求出f（x）． （2）由方程，知x2-nx+4n=0，由方程仅有整数解，知n为整数，由x2=n（x-4）及n＞0知，x-4＞0，由此能求出n． （3）由g（x）=|x3-3tx|，x∈[-1，1]是偶函数，知只要求出g（x）在[0，1]上的最大值即可．构造函数h（x）=x3-3tx，利用导数性质能求出g（x）的最大值F（t）． 【解析】 （1）∵f（x）为奇函数，∴b=d=0，…（2分） 又由及，得a=-1，c=1， ∴f（x）=-x3+x．…（4分） 当时，f'（x）＜0， 当时f'（x）＞0， ∴f（x）在时取得极小值， ∴f（x）=-x3+x为所求．…（5分） （2）方程， 化简得：x2-nx+4n=0， 因为方程仅有整数解，故n为整数， 又由x2=n（x-4）及n＞0知，x-4＞0．…（7分） 又， 故x-4为16的正约数，…（9分） 所以x-4=1，2，4，8，16，进而得到n=16，18，25．…（10分） （3）因为g（x）=|x3-3tx|，x∈[-1，1]是偶函数， 所以只要求出g（x）在[0，1]上的最大值即可． 记h（x）=x3-3tx，∵h'（x）=3x2-3t=3（x2-t）， ①t≤0时，h'（x）≥0，h（x）在[0，1]上单调增且h（x）≥h（0）=0． ∴g（x）=h（x），故F（t）=h（1）=1-3t．…（12分） ②t＞0时，由h'（x）=0得，，和， i．当即t≥1时，h（x）在[0，1]上单调减， ∴h（x）≤h（0）=0，故g（x）=-h（x），F（t）=-h（1）=3t-1．…（14分） ii．当即0＜t＜1时，h（x）在单调减，单调增， （Ⅰ）当，即时，，∴， （Ⅱ）当，即时，，∴F（t）=h（1）=1-3t， 综上可知，．…（16分）