已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列xn是一个公差为2的等差数列，满足f...

已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列x_n是一个公差为2的等差数列，满足f（x₈）+f（x₉）+f（x₁₀）+f（x₁₁）=0，则x₂₀₁₁的值等于．

设x8=a，则x9=a+2，x10=a+4，x11=a+6，则f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，结合奇函数关于原点的对称性可知，f（a）+f（a+6）=0，f（a+2）+f（a+4）=0．所以f（a+3）=0=f（0），x8=-3．设数列{xn}通项xn=x1+（n-1）．x8=x1+14=-3．x1=-17．通项xn=2n-19．由此能求出x2011的值．【解析】设x8=a，则x9=a+2，x10=a+4，x11=a+6， ∴f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，且f（a）＜f（a+2）＜f（a+4）＜f（a+6）， ∴f（a）＜0且f（a+6）＞0．结合奇函数关于原点的对称性可知，f（a）+f（a+6）=0， f（a+2）+f（a+4）=0． ∴f（a+3）=0=f（0），即a+3=0． ∴x8=-3．设数列{xn}通项xn=x1+2（n-1）． ∴x8=x1+14=-3． ∴x1=-17． ∴通项xn=2n-19． ∴x2011=2×2011-19=4003．故答案为：4003．

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考点分析：

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试题属性

题型：填空题
难度：中等