已知函数f（x）=x2-（2a+1）x+alnx． （I）当a=2时，求曲线y=...

（I）当a=2时，f（x）=x2-（2a+1）+alnx=x2-5x+2lnx，对f（x）进行求导，求出x=1处的斜率，再根据点斜式求出切线的方程； （II）对f（x）进行求导，令f′（x）=0，并求出其极值点，从而求出其单调区间； （III）由题意可知，对∀a∈（-3，-2），x∈[1，3]时，恒有ma-f（x）＜1成立等价于ma-1＜f（x）min，从而求出m的取值范围； 【解析】 （I）当a=2时，f（x）=x2-（2a+1）+alnx=x2-5x+2lnx ∴f′（x）=2x-5+ ∴f′（1）=-1，f（1）=-4， ∴y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+3=0 （II）∵f′（x）=2x-（2a+1）+= 令f′（x）=0，可得，x2=a ①当a＞时，由f′（x）＞0可得， f（x）在（0，），（a，+∞）上单调递增， 由f′（x）＜0可得： f（x）在（，a）上单调递减， ②当a=时，f′（x）≥0恒成立， ∴f（x）在（0，+∞）上单调递增； ③当0＜a＜时，由f′（x）＞0可得 f（x）在（0，a），（，+∞）上单调递增， 由f′（x）＜0，可得f（x）在（a，）上单调递减 ④当a≤0时，由f′（x）＞0，可得， f（x）在（，+∞）上单调递增， 由f′（x）＜0可得f（x）在（0，）上单调递减． （III）由题意可知，对∀a∈（-3，-2），x∈[1，3]时，恒有ma-f（x）＜1成立 等价于ma-1＜f（x）min， 由（II）知，当a∈（-3，-2）时，f（x）在[1，3]上单调递增 ∴f（x）min=f（1）=-2a， ∴原题等价于对∀a∈（-3，-2）时，ma-1＜-2a恒成立， 即m＞=-2，在a∈（-3，-2）时，有-＜＜- 故当m≥-时，ma-1＜-2a恒成立， ∴m≥-．