定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足： ①f（10）=1， ②对任意实数b，f...

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：
①f（10）=1，
②对任意实数b，f（x^b）=bf（x）．
（1）求f（1），f（ manfen5.com 满分网

），f（

），及满足f（k-1002）=lg1002的k值；
（2）证明对任意x，y∈（0，+∞），f（xy）=f（x）+f（y）．
（3）证明f（x）是（0，+∞）上的增函数．

（1）由已知中对任意实数b，f（xb）=bf（x），f（10）=1，由1=10，=10lg，（）2，可求相应函数值，进而由k-1002=10lg（k-1002），代入构造关于k的方程，可求出k值．（2）设x，y∈（0，+∞），由f（xy）=f（x•）代入公式可证得f（xy）=f（x）+f（y）．（3）因为x＞1时，f（x）=f（10lgx）=lgx•f（x）=lgx＞0，设0＜x1＜x2，f（x2）=f（•x1）结合（2）中结论及函数单调性的定义，可得答案．【解析】（1）∵对任意实数b，f（xb）=bf（x），f（10）=1， ∴f（1）=f（10）=0×1=0， f（）=f（10lg）=lg×1=lg f（）=f[（）2]=2f（）=2lg．因为f（k-1002）=f（10lg（k-1002））=lg（k-1002）=lg1002 ∴k=2004．（2）设x，y∈（0，+∞），当x≠1时， f（xy）=f（x•） = =（1+logxy）f（x） =f（x）+logxy•f（x） =f（x）+f（） =f（x）+f（y）．当x=1时，因为f（1）=0也适合，故对任意x，y∈（0，+∞），f（xy）=f（x）+f（y）．（3）因为x＞1时， f（x）=f（10lgx）=lgx•f（x）=lgx＞0，设0＜x1＜x2，则＞1，所以f（）＞0．由（2）知f（x2）=f（•x1）=f（）+f（x1）＞f（x1），所以f（x）是（0，+∞）上的增函数

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等