已知函数（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；（2...

（1）函数f（x）在[1，+∞）上为增函数则f'（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，建立关系式，解之即可； （2）求出f（x）的导函数，化简整理后，根据a小于0和a大于0，分别讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间； （3）先研究函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，令x=，易得＞，然后利用lnn＞++…+ln即可证得结论． 【解析】 （1）∵∴f'（x）=（a＞0）…1 ∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数∴f'（x）=≥0对x∈[1，+∞）恒成立 ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，即a≥对x∈[1，+∞）恒成立∴a≥1  （4分） （2）∵a≠0， 当a＜0时，f'（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，∴f（x）的增区间为（0，+∞）…5 当a＞0时，， ∴f（x）的增区间为，减区间为（）…6 （3）当a=1时，f（x）=，f'（x）=，故f（x）在[1，+∞）上为增函数． 当n＞1时，令x=，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0…8 ∴f（）=+=-+＞0，即＞ ∴lnn＞++…+ln＞+++…+