设函数f（x）=x2+aln（x+1）． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ...

（Ⅰ）由函数f（x）的定义域为（-1，+∞），=，令g（x）=2x2+2x+a，则△=4-8a．由根的判断式进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间． （Ⅱ）由F′（x）=f′（x），知函数F（x）有两个极值点时，0＜a＜，0＜＜1，由此推导出x2=∈（-，0），且g（x2）=0，即a=-（2+2x2），F（x2）=-（）ln（1+x2）+ln，构造函数h（x）=x2-（2x2+2x）ln（1+x）+ln，能够证明F（x2）＞． 【解析】 （Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-1，+∞），（1分） =，（x＞-1），（2分） 令g（x）=2x2+2x+a，则△=4-8a． ①当△＜0，即a时，g（x）＞0，从而f′（x）＞0， 故函数f（x）在（-1，+∞）上单调递增；（3分） ②当△=0，即a=时，g（x）≥0，此时f′（x）≥0，此时f′（x）在f′（x）=0的左右两侧不变号， 故函数f（x）在（-1，0）上单调递增； （4分） ③当△＞0，即a＜时，g（x）=0的两个根为，， 当，即a≤0时，x1≤-1，当0＜a＜时，x1＞-1． 故当a≤0时，函数f（x）在（-1，）单调递减，在（，+∞）单调递增； 当0＜a＜时，函数f（x）在（-1，），（，+∞）单调递增， 在（，）单调递减．（7分） （Ⅱ）∵F（x）=f（x）+ln，∴F′（x）=f′（x）， ∴当函数F（x）有两个极值点时0＜a＜，0＜＜1， 故此时x2=∈（-，0），且g（x2）=0，即a=-（2+2x2），（9分） ∴F（x2）=+aln（1+x2）+ln =-（）ln（1+x2）+ln， 设h（x）=x2-（2x2+2x）ln（1+x）+ln，其中-，（10分） 则h′（x）=2x-2（2x+1）ln（1+x）-2x=-2（2x+1）ln（1+x）， 由于-时，h′（x）＞0， 故函数h（x）在（-，0）上单调递增， 故h（x）．h（-）=． ∴F（x2）=h（x2）＞．（14分）