设函数． （Ⅰ）当时，求f（x）的最大值； （Ⅱ）令，（0＜x≤3），其图象上任...

（I）函数的定义域是（0，+∞），把代入函数解析式，求其导数，根据求解目标，这个导数在函数定义域内只有一个等于零的点，判断这唯一的极值点是极大值点即可； （II）即函数F（x）的导数在（0，3]小于或者等于恒成立，分离参数后转化为函数的最值； （III）研究函数是单调性得到函数的极值点，根据函数图象的变化趋势，判断何时方程2mf（x）=x2有唯一实数解，得到m所满足的方程，解方程求解m． 【解析】 （I）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞），当时，，（2′） 令f'（x）=0，解得x=1．（∵x＞0） 因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增； 当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减． 所以f（x）的极大值为，此即为最大值…（4分） （II），x∈（0，3]，则有≤，在x∈（0，3]上恒成立， 所以a≥，x∈（0，3]， 当x=1时，取得最大值， 所以a≥…（8分） （III）因为方程2mf（x）=x2有唯一实数解，所以x2-2mlnx-2mx=0有唯一实数解， 设g（x）=x2-2mlnx-2mx，则． 令g'（x）=0，x2-mx-m=0．因为m＞0，x＞0， 所以（舍去），， 当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减， 当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增 当x=x2时，g'（x2）=0，g（x）取最小值g（x2）．（12′） 则既 所以2mlnx2+mx2-m=0，因为m＞0，所以2lnx2+x2-1=0（*） 设函数h（x）=2lnx+x-1，因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解． 因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1，即，解得．…（12分）