已知函数f（x）=-x3+ax2+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）...

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数f（x）在R上有三个零点．
（1）求b的值；
（2）若1是其中一个零点，求f（2）的取值范围；
（3）若a=1，g（x）=f′（x）+3x²+lnx，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由．

（1）由f（x）=-x3+ax2+bx+c，知f'（x）=-3x2+2ax+b，由f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，能求出b的值．（2）由f（x）=-x3+ax2+c，知f（1）=0，c=1-a，由f′（x）=-3x2+2ax=0的两个根分别为x1=0，，能求出f（2）的取值范围．（3）g（x）=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g （x）的切线的切点坐标为（x，y），推导出，构造函数h（x）=lnx+-2，能推导出过点（2，5）可作2条切线．【解析】（1）∵f（x）=-x3+ax2+bx+c， ∴f'（x）=-3x2+2ax+b， ∵f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数， ∴当x=0时，f（x）取到极小值，即f（0）=0． ∴b=0．（2）由（1）知f（x）=-x3+ax2+c， ∵1是函数f（x）的一个零点，即f（1）=0， ∴c=1-a， ∵f′（x）=-3x2+2ax=0的两个根分别为x1=0，， f（x）在（0，1）上是增函数，且函数f（x）在R上有三个零点， ∴，解得a＞， ∴f（2）=-8+4a+（1-a）=3a-7＞-， ∴f（2）的取值范围是（-，+∞）．（3）g（x）=2x+lnx 设过点（2，5）与曲线g （x）的切线的切点坐标为（x，y）， ∴y-5=g′（x）（x-2），即， ∴，…（10分）令h（x）=lnx+-2， ∴h′（x）==0 ∴x=2， ∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增又∵h（）=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h（e2）=＞0， ∴h（x）与x轴有两个交点 ∴过点（2，5）可作2条曲线y=g（x）的切线．…（13分）

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等