设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0． （1）若b=-12，求f（...

（1）当b=-12时，由得x=2，可判断出当x∈[1，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，3]时，f（x）单调递增，故f（x）在[1，3]的最小值在x=2时取得． （2）要使f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，即f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点，即使在（-1，+∞）有两个不等实根，即2x2+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，可以利用一元二次函数根的分布可得，解之即可求b的范围． （3）先构造函数h（x）=x3-x2+ln（x+1），然后研究h（x）在[0，+∞）上的单调性，求出函数h（x）的最小值，从而得到ln（x+1）＞x2-x3，最后令，即可证得结论． 【解析】 （1）由题意知，f（x）的定义域为（-1，+∞）， b=-12时，由，得x=2（x=-3舍去）， 当x∈[1，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，3]时，f′（x）＞0， 所以当x∈[1，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，3]时，f（x）单调递增， 所以f（x）min=f（2）=4-12ln3 （2）由题意在（-1，+∞）有两个不等实根， 即2x2+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根， 设g（x）=2x2+2x+b，则，解之得； （3）对于函数f（x）=x2-ln（x+1），令函数h（x）=x3-f（x）=x3-x2+ln（x+1） 则， ∴当x∈[0，+∞）时，h′（x）＞0 所以函数h（x）在[0，+∞）上单调递增， 又h（0）=0， ∴x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0 即x2＜x3+ln（x+1）恒成立． 取，则有恒成立． 显然，存在最小的正整数N=1，使得当n≥N时，不等式恒成立