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在平面直角坐标系xOy中,已知点A(一1,1),P是动点,且三角形POA的三边所...

在平面直角坐标系xOy中,已知点A(一1,1),P是动点,且三角形POA的三边所在直线的斜率满足kOP+kOA=kPA
(I)求点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)若Q是轨迹C上异于点P的一个点,且manfen5.com 满分网,直线OP与QA交于点M,试探究:点M的横坐标是否为定值?并说明理由.

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(Ⅰ)设点P(x,y)为所求轨迹上的任意一点,则由kOP+kOA=kPA,得,由此能求出点P的轨迹C的方程. (Ⅱ)法一:设,由可知直线PQ∥OA,则kPQ=kOA,故x2+x1=-1,由O、M、P三点共线可知,与共线,由此能求出点M的横坐标为定值. 法二:设,由可知直线PQ∥OA,则kPQ=kOA,故x2=-x1-1,所以直线OP方程为:y=x1x,直线QA的斜率为:,由此能求出点M的横坐标为定值. 【解析】 (Ⅰ)设点P(x,y)为所求轨迹上的任意一点, 则由kOP+kOA=kPA, 得,(2分) 整理得轨迹C的方程为y=x2(x≠0且x≠-1),…(4分) (Ⅱ)(方法一)设, 由可知直线PQ∥OA,则kPQ=kOA, 故,即x2+x1=-1,…(6分) 由O、M、P三点共线可知,与共线, ∴, 由(Ⅰ)知x1≠0,故y=xx1,(8分) 同理,由与共线, ∴, 即(x2+1)[(x+1)(x2-1)-(y-1)]=0, 由(Ⅰ)知x2≠-1,故(x+1)(x2-1)-(y-1)=0,(10分) 将y=xx1,x2=-1-x1代入上式得(x+1)(-2-x1)-(xx1-1)=0, 整理得-2x(x1+1)=x1+1, 由x1≠-1得,即点M的横坐标为定值.  (12分) (方法二) 设, 由可知直线PQ∥OA,则kPQ=kOA, 故,即x2=-x1-1,(6分) ∴直线OP方程为:y=x1x①; (8分) 直线QA的斜率为:, ∴直线QA方程为:y-1=(-x1-2)(x+1), 即y=-(x1+2)x-x1-1②; (10分) 联立①②,得, ∴点M的横坐标为定值.(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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