设a为实数，函数f（x）=ex-2x+2a，x∈R． （1）求f（x）的单调区间...

（1）由f（x）=ex-2x+2a，x∈R，知f′（x）=ex-2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表讨论能求出f（x）的单调区间区间及极值． （2）设g（x）=ex-x2+2ax-1，x∈R，于是g′（x）=ex-2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2-1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1-ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．由此能够证明ex＞x2-2ax+1． （1）【解析】 ∵f（x）=ex-2x+2a，x∈R， ∴f′（x）=ex-2，x∈R． 令f′（x）=0，得x=ln2． 于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表： x （-∞，ln2） ln2 （ln2，+∞） f′（x） - + f（x） 单调递减 2（1-ln2+a） 单调递增 故f（x）的单调递减区间是（-∞，ln2）， 单调递增区间是（ln2，+∞）， f（x）在x=ln2处取得极小值， 极小值为f（ln2）=eln2-2ln2+2a=2（1-ln2+a），无极大值． （2）证明：设g（x）=ex-x2+2ax-1，x∈R， 于是g′（x）=ex-2x+2a，x∈R． 由（1）知当a＞ln2-1时， g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1-ln2+a）＞0． 于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增． 于是当a＞ln2-1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）． 而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0． 即ex-x2+2ax-1＞0， 故ex＞x2-2ax+1．