若函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（常数a、b∈R）是偶函数，且它的值域为...

利用函数的定义域、值域的特点得到函数是二次函数；据函数是偶函数关于y轴对称及二次函数的对称轴公式得到方程求出a，b的值；将求出的值代入二次函数解析式求其值域验证值域是否是（-∞，4]． 【解析】 由于f（x）的定义域为R，值域为（-∞，4]， 可知b≠0，∴f（x）为二次函数， f（x）=（x+a）（bx+2a）=bx2+（2a+ab）x+2a2． ∵f（x）为偶函数， ∴其对称轴为x=0，∴-=0， ∴2a+ab=0，∴a=0或b=-2． 若a=0，则f（x）=bx2与值域是（-∞，4]矛盾，∴a≠0， 若b=-2，又其最大值为4， ∴=4，∴2a2=4， ∴f（x）=-2x2+4． 故答案为-2x2+4