已知函数f（x）=lnx-； （I）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；...

（I）先确定函数f（x）的定义域，再求导函数，从而可判定f（x）在定义域内的单调性； （II）由（I）可知，f′（x）=．再分类讨论：a≥-1，f（x）在[1，e]上为增函数；a≤-e，f（x）在[1，e]上为减函数；e＜a＜-1，f（x）在（1，-a）上为减函数，f（x）在（-a，e）上为增函数，利用f（x）在[1，e]上的最小值为，可求a的值； （III）先将不等式整理，再分离参数，构建新函数，利用单调性求出函数值的范围，即可求出a的取值范围． 【解析】 （I）由题意f（x）的定义域为（0，+∞），且f'（x）=…（2分） ∵a＞0， ∴f'（x）＞0， 故f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数   …（4分） （II）由（I）可知，f′（x）=． （1）若a≥-1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数， ∴[f（x）]min=f（1）=-a=， ∴a=-（舍去） …（5分） （2）若a≤-e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数， ∴[f（x）]min=f（e）=1-（舍去）…（6分） （3）若-e＜a＜-1，令f'（x）=0得x=-a，当1＜x＜-a时，f'（x）＜0， ∴f（x）在（1，-a）上为减函数，f（x）在（-a，e）上为增函数， ∴[f（x）]min=f（-a）=ln（-a）+1= ∴[f（x）]min=f（-a）=ln（-a）+1= ∴a=-．…（8分） 综上所述，a=-． （III）∵f（x）＜x2 ∴lnx- 又x＞0，∴a＞xlnx-x3…（9分） 令g（x）=xlnx-x3，h（x）=g′（x）=1+lnx-3x2， ∴h'（x）=∵x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0， ∴h（x）在（1，+∞）上是减函数，…（10分） ∴h（x）＜h（1）=-2＜0 即g'（x）＜0∴g（x）在（1，+∞）上也是减函数， ∴g（x）在（1，+∞）上是减函数 ∴g（x）＜g（1）=-1 ∴当a≥-1时，f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立．…（12分） ∴a≥-1